Рассмотрен класс топологических пространств, порожденных псевдодеревьями. Для произвольного псевдодерева построено естественное локально компактное расширение с сохранением структуры псевдодерева. Доказано, что банахово пространство C0(T) всех непрерывных вещественных функций на локально компактном псевдодереве T допускает локально равномерно выпуклую (LUR) перенормировку при условии, что ее допускает пространство C0(P) для любого подмножества P в T, являющегося деревом, и начальные сегменты в T являются сепарабельными.